複素関数を学ぶうえで

複素関数を学ぶうえで自分が大切にしていることを話させていただきます。とはいっても大げさなことをいうつもりはありませんし、読んで「なんだそんだけか」と拍子抜けしてしまうかもしれませんがご了承ください。

結論からいうと、”実数関数との共通点と相違点を意識する””

ということです。

複素関数の体系は基本的に「実数のときはこんなふうだったけど複素数はおなじことをいえるかな？

で展開していきます。

同じだったら、そのままのかたちを採用し、違ったらつじづまがあうように考えなおす、といった感じになるわけですね。

例を挙げると、複素数におけるべき関数の微分と実数関数の場合は一致しています。

なので、この場合は定義上同じ形になるわけですね。

この性質もあって関数をべき関数に近似する試みがよく出てくるようになります。

三角関数の定義は、実数の場合単位円を用いて定義されていますが、このまま複素数に拡張は難しそうです。そのままではうまくいえない例ですね。

なので、テイラー展開などででてきたべき関数を三角関数の定義してしまっています。

そうすると、微分に関しても先ほどの事実がつかえておいしいわけですね。

たいてい複素関数ででてくる定理などは実数で取り上げられたものが多い印象です。なので、定理が出てきたときにには微分積分の教科書を開いて、「あぁ実数とおなじか」てなかんじでやっています。

というわけで実数の時と複素数を比べることが大切というわけでした。