連鎖から数学的帰納法を証明してみた
前回、連鎖という概念、そしてそこから自然数の定義をしました↓
その続きとして連鎖から数学的帰納法を証明するというのが
今回のテーマとなっています。
証明自体は短いので、じっくり噛みしめながら読んでくださいね。
〇証明全体
自然数ｎについての条件P(n)について
（１）P(1)
（２）どんな自然数ｋに対しても”P(k)⇒P(k+1)
が成立するとする。
また、 M＝｛ｎ｜P(n)｝
とすると、（１）より １はMの元である。
続いて実数aがMの元だとすると、P(n)というのは”自然数””ｎの条件なので、
aは自然数全体の集合Nの元でもある。
すると、（２）より、P(a＋１)
よって、a+1はMの元であることがわかる。
これはMが連鎖であることがわかる
連鎖の性質より、NはMの部分集合である。
逆に、MはNの部分集合であるため、
(1),(2)の２つが成り立つならば、すべての自然数ｎについてP(n)である(終)
