可算集合

可算集合というのは、自然数全体の集合と濃度が等しい集合のことを指します。

例えば、数の集合で考える偶数全体の集合、奇数全体の集合、整数全体の集合、有理数全体の集合は可算集合であります。

じゃあどうやって確かめるかというと濃度が等しいというのが何を意味しているのかを確認します。濃度が等しいというものの定義は全単射な写像が2つの集合の間で存在するということでした。

なので、全単射な写像を見つければいいのです。自然数全体から偶数全体へは自然数の元をkとすれば、f(k)=2kとすればうまくいきます。

奇数全体へも同じように考えれば2k-1でうまくいきます。整数全体についてですが、これは偶数と奇数をうまく使うと全単射が思いつくと思います。有理数は文字だけだと説明しずらいので省略(具体的な式では書けないが番号付けをイメージ)

ただ、実数全体とは濃度がちがいます。つまり、全単射な写像がないんです。これが、有理数までと実数の大きなちがいで連続性が絡んでいます。