愛の愛情は実数？～解説～

前にこんな記事を書いたんですが

mirukatea.hatenablog.com

見返したら具体的な解説については書いてなかったので書いていこうと思います。

下準備

iのi乗がどんな値をとるかを求めるためには、いくつか複素関数でやるような知識が必要となります。(とはいえ難しくないので安心)

この２つを知れればOKです。

複素数の指数関数の定義

オイラーの式

まずは指数関数の定義から話します。

a^z=e^(z×log a )      (a,zは複素数)

これが定義となります。

まぁなりたつなぁというのは実数の時の感性でわかると思います。。

ポイントとすればeを使っていることでしょうか。

複素数の時ではe^zが先で、テイラー展開した式が定義となっています。

時系列をまとめると、

テイラー展開が複素数の時でも成り立つことがわかった→じゃあそれをe^zの定義にし

てしまおう→e^zが定義できたからそれを使って指数関数を定義してしまおう

ていう流れです。なのでeが使われているのです。

次にオイラーの式について、

e^ix = cos x + isin x    (xは実数)

これがオイラーの式です。

これにより、複素数を極形式にしてeの形で書くことができます。

xに当たる部分が複素数のときはどうなるかというと、z=x+yiとすれば、

e^iz = e^(-y+xi) = e^-y  ×　e^xi = e^-y(cosx+isinx)

となります。

実際に求める

では実際にiのi乗がどうなるかを調べましょう。

まず、指数関数の定義から(a=z=iとなる)

i^i = e^(ilogi)

ここで　log i に注目します。

i= cosπ/2 + isinπ/2　でありオイラーの公式より、

i= e^(i×π/2)

これをlog i に代入すると

log i ＝log e^(i×π/2)

　　 = i×π/2

これをi log i に代入すると

i log i = i×i×π/2　= -π/2

よって

i^i  =  e^(-π/2)となることがわかりました。eの-π/2乗だったんですね驚きです。

ちなみに関数電卓で具体的な数をだしてもらうと0.20788.....となりました。(結構小さい)

 

今回はここまでとなりますありがとうございました。

複素関数入門 (現代数学への入門)