連鎖からの自然数の定義

連鎖とは？

実数の部分集合Mについて２つの条件を満たすものを連鎖といいます。

１．　１はMの元である

２．　任意の実数aに対して

　　「aがMの元　　ならば　　a+1もMの元である」

例えば、実数全体も連鎖です。

もう少し範囲を狭めてみましょう

２つの条件をみればわかるとおり

負の数については言及してないので

正の実数全体、｛１｝⋂｛ｘ｜ｘは２以上の実数｝、｛１，２｝⋂｛ｘ｜ｘは３以上の実数｝、｛１，２、・・・、ｎ｝⋂｛ｘ｜ｘはn+1以上の実数｝

などが連鎖です。

さて、この「連鎖」という語句から自然数を定義します

連鎖による自然数の定義

``連鎖全体の集合Kにおける共通部分をNとし

その元を自然数という``

という定義となります

簡単に説明させていたたぎますと、

先ほどの例を使う割とわかりやすいです。

｛１，２、・・・、n｝⋂｛ｘ｜ｘはn+1以上の実数｝

このnをだんだん大きくしていくんです。

そうすると左側が自然数全体に近づくわけです。

そして、大きくしていく過程でできたたくさんの連鎖の共通部分とすると右側を無視できるようになるわけです。

即興で書いたので拙い文章ではありますが、

今回はこれで

↓参照した本（実数論について書いている本です。大学数学の魅力を味わえます）

実数論講義[新版] (微分積分学)