体、ベクトル空間、そして部分空間へ その1
〇まず、定義について
体というのは四則演算について閉じている集合を指します。
例えば、複素数、実数、有理数は体ですが、整数、自然数は体ではありません。
なぜかというと、1÷6の場合について考えると、整数同士の割り算ではありますが、
演算結果は分数であり整数となっていません。自然数も同様の理由です。
次に、ベクトル空間(抽象的)について話します。
集合Vについて和とスカラー倍
・任意のVの元同士の和も集合Vの元
・任意のVの元と任意のKの元のスカラー倍の元
となるように定義されていて、次の8つの条件が満たされているとき
体Kのベクトル空間といいます。
(1)和について結合法則が成り立つ(和の順序を変えても結果は変わらない)
(2)和について交換法則が成り立つ(文字を入れ換えても結果は変わらない)
(3)和についての単位元が存在する(足しても結果が変わらない元がある)
(4)和について任意の元に対して逆元が存在する(足すと単位元になるもの)
(5)ベクトルの分配法則が成り立つ
(6)スカラーの分配法則が成り立つ
〇ざっくりと解説
私たちが最初の習うようなベクトルは数ベクトルといって今回紹介したベクトルとは
違うものとなっています。今回のベクトルは簡単にいうと”こういう条件を満たしたも
のは全部ベクトルと呼ぼう”といった感じです。
なんでそんなこととするかというとそするとさまざまなものの空間(関数による空間、
数列、行列・・)をまるごとベクトル空間として扱えるようになり便利になるからです。
みなさん、教科書や参考書に書き込む派ですか？書き込まない派ですか？
こんにちはー。今回書く内容は教科書とかに書き込みをするかしないかについてです。
受験生時代、同級生を見てみると、他の人には読めないくらいに書き込んでいる人も
いれば、ほぼ新品同様でブックオフで高く売れそうなくらいきれいに使っている人も
いました。では、メリット、デメリットを考えていきましょう。
〇書き込むことによるメリット
〇単純に楽を
わたしも書き込む派なんですが、なんでそうしているかっていわれたら、
ノートを何冊も持ち運びたくないですし、どのノートにどの内容が書かれて
いるかを確認するのが面倒なんですよね、教科書なら表紙を見ればすぐにわかり
ますし、情報が分散しないんですよね。
〇書き込むことの達成感
個人的感想ですけど、教科書に書き込むとオリジナリティーがでてやる気がでる
んですよ。ただ、これは、勉強をした気になってしまう危険性も否めませんが。
〇デメリット
〇きれいなほうがやる気が出る人に逆効果
きれい好きにはもちろん逆効果ですよね、たしかドラゴン桜でもそんなこと言って
ましたし、私自身もそう思う時があるのも確かです。
〇わかったきになってしまう
これは教科書や参考書よりも問題集とかにあるうる話です。
答えとかヒントとか書き込んでいるとそれで分かった気になってしまうかも？
今思いつく限りだとこんな感じですかね。どちらが正しくどちらを採用するべきかとい
うよりもメリットデメリットを考えることが大事だと思います。
運動方程式が使えないだと・・・！？
物理の式の代表格”運動方程式”は絶対的な正しさで高校物理では扱われてきた。
しかし、例外はないのだろうか？サイコパスにおけるシビュラシステムに免罪体質者と
いう例外があるように運動方程式にも欠陥、弱点がないのか？
あるのだ。それは粒子が高速である(エネルギーが高い)時と粒子が極小(かなり小さい)時
であり、粒子が高速である時について考える分野を相対性理論、極小の時について考え
るほうを、量子力学という。
この2つに対して、高校で我々が最初にならったような力学を古典力学という。
相対性理論、量子力学の世界では、基本的に古典力学の常識が通用しない。
つまり、我々が勉強してきた常識が通用しないのである。
※(5/6追加)なんでいつもと語尾が違うんだ？
今更自己紹介してみた
改めましてミルカティーと申します。
今、私はとある大学で数学を勉強していて、２年目に入っています。
一応大学に入学した時期にこのブログを書き始めたんですが、
私なかなかの飽き性でしてあんまり更新してきませんでしたが、
１年生の反省の１つとしてアウトプット不足があり、ブログを使って、
アウトプットしていこうと思い少しづつ更新頻度を増やしています。
〇どんなことを書くの？
基本的に勉強した内容の復習として記事を書くので、
必然的に数学の話が多いです。
もちろん他の分野の話もしますが。
〇これからどうしていきたい？
とりあえず、１００記事投稿を目指します。
あとは、もっと勉強して専門的な数学の内容を伝えていきます。
よろしくお願いします。
関数に複素数を導入する！
関数をはじめて勉強するときは変数は複素数ではなく実数の範囲で考えてきました。
まあそれはそもそも関数を勉強するときは複素数なんて勉強してないですから
当然ですよね。
とうとう大学で本格的に変数が複素数である関数を勉強するってわけですね。（複素関数、複素解析なんていわれていたり）
正直にいうと、私もまだきちんと勉強してないので、複素数を導入すると、
どうなるか（実数の場合との違い、複素数を導入するメリット、応用例など）
くわしくはわからないのですけど、知っている限りでいうと、
実数の関数での難問が複素数で考えると解きやすくなったりするそうです。
数の規模を大きくすると解きやすくなったりするってことですね。
これと似ているなって思ったりしたことがありまして、
幾何の問題は低い次元よりも高い次元で考えるほうが操作性が高くて、
解きやすいそうです。
イメージする、マ〇オブラザーズよりマ〇オギャラクシーのほうが色々できるって
感じですかね・・・？（いまならオデッセイかな？）
有名な難問であるポアンカレ予想も3次元の幾何の問題でした。
複素数も２次元の数とか聞いたとかあるので、案外同じことを意味してたりして（笑）
何に使うかな？を意識していきたい。
数学の勉強で意識していることの一つに”この概念はどのような意図があって
考えられているのかな？”があります。
最先端の研究まで行くとわかりませんが、
私たちが触れているレベルの数学ならば、あまり意味がない概念は出てこない
と思うのです。
例えば、行列の積の定義ってなんであんな感じになっているのかっていったら、
勉強していけばわかりますが、線形写像に対応させるためなんですよね。
ほかにも、集合の濃度ってなんのためかっていったら、無限集合の場合の
元を比べるためというように目的がちゃんとあるんですよね。
だから、常に意識をして知識を”生きた知識”にして点と点を結んでいきたいなと
感じています。
イメージしろ！正比例なベクトルを！！
はい今回は固有値について話そうかと。
定義を確認すると、線形変換について、
元のベクトルのことを固有ベクトルと呼ぶ
という風になっています。
要は私達が中学生のときにやった関数y=ax
のxとyがベクトルになったバージョンが
y＝axにあてはめると、aが固有値にあたる部分で、
xが固有ベクトルにあたる部分となります。
注意としては、関数とは違って、
ルになります。
まとめると、
「線形変換の中には元のベクトルがとあるベク
トルになると、スカラー倍しただけ、つまり
元のベクトルから向きが変わらないことがある
ベクトルと呼ぶことにしよう。」
というわけなんですね。
短いですが、今回はここまでとします。
