この定理のしっかりとした内容は皆さんで各自調べてもらうとしてざっくりいわせてもらうと
ぐるっと1周する曲線があり、囲った中て正則(微分可能って解釈でok)な関数をこの曲線にそって積分(線積分)すると0になるって定理です。
この定理からこの定理の条件を満たす関数はその領域内での線積分は経路によらないつまりスタートの点とゴールの点だけで結果がわかるということですね。(これが力学のエネルギー保存に関係してるとかしてないとか)
コーシーの積分定理たどスタートの点とゴールの点が一致しているから0って感じですかね。
なんとなく微分積分学の基本定理を思い出したりしなかったり。
