距離の定義

距離の定義はつぎのようになります。

ある集合の距離とは、

以下の条件をクリアしたその集合の直積集合（その集合から２つの元を組み合わせる）から実数全体への写像になります。

１．写像で飛ばした先は0以上であり、０になるときはある集合からおなじ元の組み合わせになる。

２．組み合わせの順番はとわない（同じ組み合わせなら写像先は同じになる）

３．三角方程式の成立

また、集合とその上の距離の組のことを距離空間（距離が考えられている集合のこと）と呼びます。

この例としては一般的に距離として認識されているユーグリット距離が挙げられます。

少し話が変わりますが、同値にはいろいろな意味で使われたりします。その中で距離の同値があります。

「うまく片方の距離を実数倍にすれば、もう片方の距離の値以下、以上にできる」ときに同値といいます。

これを知ると、片方の距離が連続、収束だともう片方も連続、収束であることが言えたりします。

愛の愛情は実数？～解説～

前にこんな記事を書いたんですが

mirukatea.hatenablog.com

見返したら具体的な解説については書いてなかったので書いていこうと思います。

下準備

iのi乗がどんな値をとるかを求めるためには、いくつか複素関数でやるような知識が必要となります。(とはいえ難しくないので安心)

この２つを知れればOKです。

複素数の指数関数の定義

オイラーの式

まずは指数関数の定義から話します。

a^z=e^(z×log a )      (a,zは複素数)

これが定義となります。

まぁなりたつなぁというのは実数の時の感性でわかると思います。。

ポイントとすればeを使っていることでしょうか。

複素数の時ではe^zが先で、テイラー展開した式が定義となっています。

時系列をまとめると、

テイラー展開が複素数の時でも成り立つことがわかった→じゃあそれをe^zの定義にし

てしまおう→e^zが定義できたからそれを使って指数関数を定義してしまおう

ていう流れです。なのでeが使われているのです。

次にオイラーの式について、

e^ix = cos x + isin x    (xは実数)

これがオイラーの式です。

これにより、複素数を極形式にしてeの形で書くことができます。

xに当たる部分が複素数のときはどうなるかというと、z=x+yiとすれば、

e^iz = e^(-y+xi) = e^-y  ×　e^xi = e^-y(cosx+isinx)

となります。

実際に求める

では実際にiのi乗がどうなるかを調べましょう。

まず、指数関数の定義から(a=z=iとなる)

i^i = e^(ilogi)

ここで　log i に注目します。

i= cosπ/2 + isinπ/2　でありオイラーの公式より、

i= e^(i×π/2)

これをlog i に代入すると

log i ＝log e^(i×π/2)

　　 = i×π/2

これをi log i に代入すると

i log i = i×i×π/2　= -π/2

よって

i^i  =  e^(-π/2)となることがわかりました。eの-π/2乗だったんですね驚きです。

ちなみに関数電卓で具体的な数をだしてもらうと0.20788.....となりました。(結構小さい)

 

今回はここまでとなりますありがとうございました。

複素関数入門 (現代数学への入門)

不定部分空間

まず、行列Aを線形変換だとします。

さて、n次元実数空間の部分空間をVとし、その元の写像先全体がVの部分集合となるとき、

VをAに関する不変部分空間といいます。

不変部分空間の例として、Aの固有空間が挙げられます。

固有値をλとし、その固有空間をVとすると、Vの元xについて、

Ax=λxであり、A(Ax)=A(λx)=λAxとなるので

AxはVの元だとわかり、不変部分空間だとわかります。

可算集合

可算集合というのは、自然数全体の集合と濃度が等しい集合のことを指します。

例えば、数の集合で考える偶数全体の集合、奇数全体の集合、整数全体の集合、有理数全体の集合は可算集合であります。

じゃあどうやって確かめるかというと濃度が等しいというのが何を意味しているのかを確認します。濃度が等しいというものの定義は全単射な写像が2つの集合の間で存在するということでした。

なので、全単射な写像を見つければいいのです。自然数全体から偶数全体へは自然数の元をkとすれば、f(k)=2kとすればうまくいきます。

奇数全体へも同じように考えれば2k-1でうまくいきます。整数全体についてですが、これは偶数と奇数をうまく使うと全単射が思いつくと思います。有理数は文字だけだと説明しずらいので省略(具体的な式では書けないが番号付けをイメージ)

ただ、実数全体とは濃度がちがいます。つまり、全単射な写像がないんです。これが、有理数までと実数の大きなちがいで連続性が絡んでいます。

形容詞の格変化

形容詞の格変化には3パターンあります。冠詞がないとき、定冠詞があるとき、不定冠詞があるときの3つです。

まず、何も着いていない場合は「だいたい」定冠詞の格変化と同じです。どこが違うかといいますと、男性名詞,中性名詞の2格が"en"になり、中性名詞の1,4格が"es"になります。

つまり、

 

と言った感じになります。赤で囲っているところが例外の部分です。

次に冠詞が着いた場合の形容詞の格変化について。

この場合定冠詞が格変化をしてくれるので形容詞は大きく語尾が変わりません。お気持ち程度に"e"か"en"をつけるだけです。しかも、ほとんどが"en"で、"e"が着くのは男性1格、女性中性の1,4格です。

つまり、

 

となります。複数名詞はすべてenになることに注意しましょう。

最後に、不定冠詞が着く場合の形容詞の格変化について。

不定冠詞が着く場合の格変化は、冠詞がない場合と定冠詞がある場合の中間の変化をします。(とはいえ、定冠詞があるときの変化よりです)

男性1格、中性の1,4格は冠詞がついていないときの格変化と同じで、それ以外は定冠詞が着いている場合の格変化と同じになります。

つまり、

 

となります。赤で囲っているところが何も着いていない方、青で囲っているところが定冠詞が着いている方になります。

コーシーの積分定理〜複素関数〜

この定理のしっかりとした内容は皆さんで各自調べてもらうとしてざっくりいわせてもらうと

ぐるっと1周する曲線があり、囲った中て正則(微分可能って解釈でok)な関数をこの曲線にそって積分(線積分)すると0になるって定理です。

この定理からこの定理の条件を満たす関数はその領域内での線積分は経路によらないつまりスタートの点とゴールの点だけで結果がわかるということですね。(これが力学のエネルギー保存に関係してるとかしてないとか)

コーシーの積分定理たどスタートの点とゴールの点が一致しているから0って感じですかね。

なんとなく微分積分学の基本定理を思い出したりしなかったり。

ドイツ語の否定文

ドイツ語はできるだけ2番目に動詞を置きたいと思っています。

英語の場合は動詞の前に助動詞＋notを置いて否定文をつくりますが、そうしてしまうと動詞が2番目ではなくなります。

ドイツ語はそれが嫌だと思っています。じゃあ、どこに否定語を置くかというわけです。　

そこで、ドイツ語は否定語を極端に文末に置こうとなるわけですね。

文が複雑になると否定語が文末の手前になること(たとえば、助動詞が文にあるようなわく構造を取る場合)もありますが、とにかく後ろに置こうというのが、ドイツ語の否定文の特徴になるわけです。